Hopf Algebra of Permutations

We analyze the structure of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra of permutations in detail. We give explicit formulas for its antipode, prove that it is a cofree coalgebra, determine its primitive elements and its coradical filtration and show that it decomposes as a crossed product over the Hopf algebra of quasi-symmetric functions. We also describe the structure constants of the multiplication as a certain number of facets of the permutahedron. Our results reveal a close relationship between the structure of this Hopf algebra and the weak order on the symmetric groups. Résumé. On analyse la structure de l’algèbre de Hopf de Malvenuto et Reutenauer en détail. On donne des formules explicites pour son antipode, on prouve que c’est une coalgèbre colibre, on determine ses éléments primitifs et sa filtration coradical et on montre qu’elle se décompose comme un produit croisé sur l’algèbre de Hopf de fonctions quasi-symétriques. On decrit aussi les constants de structure de la multiplication comme un certain numéro de facettes du permutahedron. Nos résultats mettent en évidence une forte relation entre la structure de cette algèbre de Hopf et l’ordre faible dans les groupes symetriques.